Solving linear system by matrices
لن نعتمد الجانب النظري أو المجاهيل في كتابة هذا الموضوع بل سـأضع مثالاً و أطبق عليه الطريقة.
هذه الطريقة صالحة من أجل
حيث A المصفوفة، لأن المصفوفة القابلة للانعكاس إذا وإذا فقط 
حيث A المصفوفة، لأن المصفوفة القابلة للانعكاس إذا وإذا فقط معكوس مصفوفة
لتكن A مصفوفة معرفة كما يلي:
![A=\left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} &
1 \\
2 & 1 & 0 \\ 3
& { - 3} & 1 \\ \end{array}} \right]](http://www.mathramz.com/math/files/tex/b8278600749c05bf231033b00ce6c225.png "A=\left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} &
1 \\
2 & 1 & 0 \\ 3
& { - 3} & 1 \\ \end{array}} \right]")
الخطوة الأولى : حساب محدد[م] المصفوفة ، وسنختار العمود الأخير لحسابه. إذا
إذا المصفوفة قابلة للإنعكاس .
الخطوة الثانية : نقوم بحساب ألفة المصفوفة. إن حساب الألفة يعتمد على حساب المحدد و يمز لها بـ 
![\tilde A = \left[ {\begin{array}{*{20}c} { + ( + 1)} & { -
( + 2)} & { + ( - 9)} \\ { - ( - 1)} & { + ( - 2)} & { - ( +
3)} \\
{ + ( - 1)} & { - ( - 2)} & { + ( + 5)} \\\end{array}} \right]](http://www.mathramz.com/math/files/tex/cb5280001c92c65c0728684e947207cc.png "\tilde A = \left[ {\begin{array}{*{20}c} { + ( + 1)} & { -
( + 2)} & { + ( - 9)} \\ { - ( - 1)} & { + ( - 2)} & { - ( +
3)} \\
{ + ( - 1)} & { - ( - 2)} & { + ( + 5)} \\\end{array}} \right]")
كيف تم الحساب ؟
بخصوص الإشارات خارج الأقواس، يتم وضعها بشكل تلقائي بعد الحساب و هي ضمن قانون الألفة، و تتوزع بشكل دوري + ثم - ثم + ثم - و هكذا. أما القيم داخل الأقواس سأبين كيف تم الحساب. السطر الأول 
، تم الحساب كتالي :
، تم الحساب كتالي : 1) نختار الموقع الأول ( تقاطع[م] العمود الأول و السطر الأول ) ، من المصفوفة A و الحامل لرقم 1 ثم نحسب المحدد الناتج عنه و هو 
فنحصل على القيمة 1 دون ضربها في القيمة الموجودة في الموضع الأول من A نضعها في الموضع الأول .
فنحصل على القيمة 1 دون ضربها في القيمة الموجودة في الموضع الأول من A نضعها في الموضع الأول .2) القيمة +2 ، بنفس الطريقة نختار الآن الموضع الثاني ( تقاطع السطر الأول و العمود الثاني ) ، الحامل للقيمة -2 و نحسب المحدد الناتج عنه وهو 
و تكون النتيجة[م] هي 2 . فنضعها في الموضع الثاني . دون الضرب في القيمة الأصلية الموجودة في A . و نواصل العملية مع باقي القيم لنحصل على الألفة .
و تكون النتيجة[م] هي 2 . فنضعها في الموضع الثاني . دون الضرب في القيمة الأصلية الموجودة في A . و نواصل العملية مع باقي القيم لنحصل على الألفة . الخطوة الثالثة: حساب المنقولة. وهي بسيطة تعتمد على تحويل[م] أسطر الألفة إلى أعمدة و أعمدة الألفة إلى اسطر لنجد
![\tilde A^t
= \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 1} & { - 1} \\ {
- 2} & { - 2} & 2 \\ { - 9} & { - 3} & 5 \\\end{array}}
\right]](http://www.mathramz.com/math/files/tex/714c0a42c3328875a28b5b131caaecfd.png "\tilde A^t
= \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 1} & { - 1} \\ {
- 2} & { - 2} & 2 \\ { - 9} & { - 3} & 5 \\\end{array}}
\right]")
الخطوة الرابعة: حساب مقلوب المصفوفة.
![A^{ - 1}
= \frac{{\tilde A^t }}{{\det (A)}} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} { - 1/4} & {1/4}
& {1/4} \\ {1/2} & {1/2} & { - 1/2} \\
{9/4} & {3/4} & { - 5/4}
\\\end{array}} \right]](http://www.mathramz.com/math/files/tex/32e6543ca1dad2b78fd7973b2ad33a4e.png "A^{ - 1}
= \frac{{\tilde A^t }}{{\det (A)}} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} { - 1/4} & {1/4}
& {1/4} \\ {1/2} & {1/2} & { - 1/2} \\
{9/4} & {3/4} & { - 5/4}
\\\end{array}} \right]")
حل الجمل (النظم) الخطية
نعلم أن الجمل الخطية تقبل أكثر من صيغة نختار منها ، الصيغة المصفوفية ، وهي كتالي 
حيث A هي المصفوفة ، و X مصفوفة المجاهيل ، و B مصفوفة نواتج الجملة
حيث A هي المصفوفة ، و X مصفوفة المجاهيل ، و B مصفوفة نواتج الجملة لتكن الجملة التالية
معاملات المجاهيل هي القيم المكونة للمصفوفة A وتسمى مصفوفة المعاملات. والمصفوفة X فهي مصفوفة المجاهيل, أما المصفوفة Bفهي للقيم المطلقة.
![A = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} &
1 \\
2 & 1 & 0 \\ 3
& { - 3} & 1 \\\end{array}} \right],\quad X = \left[
{\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\\end{array}} \right],\quad B = \left[
{\begin{array}{*{20}c} 3
\\ 5 \\
4 \\\end{array}} \right]](http://www.mathramz.com/math/files/tex/8f27c2260235e9e0b85b17f062df1154.png "A = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} &
1 \\
2 & 1 & 0 \\ 3
& { - 3} & 1 \\\end{array}} \right],\quad X = \left[
{\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\\end{array}} \right],\quad B = \left[
{\begin{array}{*{20}c} 3
\\ 5 \\
4 \\\end{array}} \right]")
وبالتالي يصبح النظام أو جملة المعادلات الخطية بالشكل التالي
![\left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} &
1 \\
2 & 1 & 0 \\ 3
& { - 3} & 1 \\\end{array}} \right] \cdot \left[
{\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\\end{array}} \right] = \left[
{\begin{array}{*{20}c} 3
\\ 5 \\
4 \\\end{array}} \right]](http://www.mathramz.com/math/files/tex/5bedae748f9ff39f7ecadf5846b27940.png "\left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} &
1 \\
2 & 1 & 0 \\ 3
& { - 3} & 1 \\\end{array}} \right] \cdot \left[
{\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\\end{array}} \right] = \left[
{\begin{array}{*{20}c} 3
\\ 5 \\
4 \\\end{array}} \right]")
أو 
وهي المعادلة المصفوفة الممثلة لجملة المعادلات الخطية. بما أن A قابلة للانعكاس فإن 
أي أن
وهي المعادلة المصفوفة الممثلة لجملة المعادلات الخطية. بما أن A قابلة للانعكاس فإن أي أن ![\left[ {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\\end{array}} \right] = \left[
{\begin{array}{*{20}c} { - 1/4} & {1/4} & {1/4} \\
{1/2} & {1/2} & { - 1/2}
\\ {9/4} & {3/4} & { -
5/4} \\\end{array}} \right].\left[
{\begin{array}{*{20}c} 3
\\ 5 \\
4 \\\end{array}} \right]](http://www.mathramz.com/math/files/tex/48fff366ba02ccc61cf2c77478124a9e.png "\left[ {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\\end{array}} \right] = \left[
{\begin{array}{*{20}c} { - 1/4} & {1/4} & {1/4} \\
{1/2} & {1/2} & { - 1/2}
\\ {9/4} & {3/4} & { -
5/4} \\\end{array}} \right].\left[
{\begin{array}{*{20}c} 3
\\ 5 \\
4 \\\end{array}} \right]")
و منه نجد حل الجملة الخطية:
This entry was posted
on 11:47 ص
.
You can leave a response
and follow any responses to this entry through the
الاشتراك في:
تعليقات الرسالة (Atom)
.