العناصر الأولية والعناصر الغير قابلة للتحليل  

Posted by: w6

Prime Elements and Irreducible Elements

 تعريف

لتكن R حلقة إبدالية ذات محايد.  نقول عن p \in R أنه عنصر أولي prime element إذا تحقق التالي:
1.  p ليس صفر ولا عنصر وحدة
2.  إذا كان a,b \in R بحيث p|ab فإن p|a أو p|b.

نقول عن العنصر q \in R أنه غير قابل للتحليل irreducible إذا تحقق ما يلي:
1.  q ليس صفر ولا عنصر وحدة.
2.  إذا كان a,b \in R بحيث q = ab فإما a عنصر وحدة أو b عنصر وحدة.

أمثلة

1.  في الحلقة \mathbb{Z} العناصر الأولية هي العناصر الغير قابلة للتحليل وهي الأعداد الأولية.
2.  في الحلقة \mathbb{Z}_8 عمليات الضرب الممكنة للعنصر 6 هي

6 = 1 \otimes 6 = 2 \otimes 3 = 2 \otimes 7 = 5 \otimes 6

لذلك 6 غير قابل للتحليل لن كل عملية ضرب هنا تضمنت عنصر من زمرة[م] الوحدات

U(\mathbb{Z}_8 ) = \{ 1,3,5,7\}

3.  في الحلقة \mathbb{Z}(\sqrt { - 3} ) = \{ a + b\sqrt { - 3} :a,b \in \mathbb{Z}\} العنصر \sqrt { - 3} أولي وكذلك غير قابل للتحليل.  إثبات هذا يحتاج إلى بعض الحسابات الجبرية الروتينية.

حقائق متعلقة بالحلقة التامة

حقيقة1: في حلقة تامة R.  إذا كان p غير قابل للتحليل فإن قواسمه هي عناصر الوحدة والعناصر المتشاركة معه فقط.
البرهان: إذا كان a عنصر وحده أو متشارك مع p فإن a|p وضوحا.  من جهة أخرى إذا كان a|p فإن p = ba وبالتالي إما a عنصر وحدة وإما b عنصر وحدة ومنه ينتج أن a يشارك p.

مبرهنة2: إذا كانp \ne 0 عنصر من حلقة تامة R فإن p غير قابل للتحليل إذا وإذا فقط كانت (p) مثالية أعظمية.

البرهان: افرض أن p غير قابل للتحليل.  إذا p ليس عنصر وحدة ولذلك (p) مثالية فعلية.  إذا كانت (p) \subset (d) فإن p = cd لبعض c \in R وبالتالي إما c عنصر وحدة ومنه (p) = (d) أو d عنصر وحدة ومنه (d) = R.  إذا (p) مثالية أعظمية.

عكسيا, افرض أن (p) أعظمية.  إذا p ليس عنصر وحدة.  إذا كان a,b \in R بحيث p = ab فإن (p) \subset (a) ولكن (p) أعظمية.  إذا إما (a) = R ومنه a عنصر وحدة وإما (p) = (a) ومنه a = pc وبالتالي p = pcb ومنها وباستخدام قانون اختصار الضرب ينتج 1 = cb ومنه نجد أن b عنصر وحدة.  إذا p غير قابل للتحليل.


حقيقة3: ليكن a,b \in R عنصرين من حلقة تامة.
1.  كل عنصر متشارك مع عنصر أولي من R هو عنصر أولي.
2.  كل عنصر متشارك مع عنصر غير قابل للتحليل في R هو عنصر غير قابل للتحليل. 

مختصر البرهان:
1.  إذا كان c غير قابل للتحليل و كان d متشارك مع c فإن c = du حيث u \in R عنصر وحدة انظر العناصر المتشاركة.  إذا كان d = ab فإن c = abu وبالتالي a عنصر وحدة أو bu عنصر وحدة ومن هذه الأخيرة فإن b عنصر وحدة لأن u كذلك.  إذا d غير قابل للتحليل.
2.  تبرهن بطريقة مماثلة.


حقيقة4: في الحلقة التامة R كل عنصر أولي هو غير قابل للتحليل.

البرهان: ليكن p أولي و لتكن a,b \in R بحيث p = ab.  إذا p يجب أن يقسم a أو b.  إذا كان p|a فإن a = pc وبالتالي p = (pc)b ومن قانون الاختصار للضرب 1 = cb أي أن b عنصر وحدة.  بالمثل إذا كان p|b نستنتج أن a عنصر وحدة.  إذا p غير قابل للتحليل.

عكس هذه الحقيقة غير صحيح, فعلى سبيل المثال العنصر 2 في \mathbb{Z}(\sqrt { - 3} ) عنصر غير قابل للتحليل ولكنه غير أولي.  تأكد من ذلك.  على كل في مناطق المثالية الرئيسية العكس صحيح وهذا ما نبرهن عليه الآن.

مبرهنة5: إذا كانت R حلقة تامة كل وp \in R عنصر غير صفري فإن التقارير التالية متكافئة:
1.  p عنصرا أوليا
2.  (p) مثالية أولية
3.  R/pR حلقة تامة.

البرهان:
إثبات 2 \Leftrightarrow 1: ليكن p عنصرا أوليا.  افرض أن ab \in (p) إذا p|ab وحيث p أولي فإن p|a أو p|b وبالتالي a = cp أو b = dp لبعض c,d \in R.  إذا a \in (P) أو b \in (P) والذي يثبت أن(p) مثالية أولية.  عكسيا إذا كانت (p) مثالية أولية فإن (p) \ne R.  إذا p ليس عنصر وحدة.  إذا كان p|ab فإن ab \in (p) وبالتالي a \in (P) أو b \in (P) لأن (p) أولية.  إذا p|a أو p|b وهذا يثبت أن p أولي.


إثبات 3 \Leftrightarrow 1: ليكن p عنصرا أوليا.  بما أن R إبدالية ذات محايد 1 \ne 0 فكذلك R/pR إبدالية ذات محايد 1 + pR \ne 0 + pR.  ليكن a + pR,\;b + pR عنصرين R/pR بحيث

(a + pR)(b + pR) = ab + pR = 0 + pR

إذا ab \in pR ومنه p|ab.  بما أن p أولي فإن p|a أو p|b.  أي أن a + pR = pR أو b + pR = pR وعليه فإن R/pR خالية من قواسم الصفر.
عكسيا إذا كانت R/pR حلقة تامة فإن 1 + pR \ne 0 + pR أي أن p ليس عنصر وحدة.  إذا كان p|ab فهذا يعني أن

pR = ab + pR = (a + pR)(b + pR)

ولكن R/pR خالية من قواسم الصفر, إذا a + pR = pR أو b + pR = pR وبالتالي p|a أو p|b وهذا يثبت أن p أولي.

حقائق متعلقة بمناطق مثالية رئيسية

مبرهنة6: إذا كانت R منطقة مثالية رئيسية فإن p \in R أولي إذا وإذا فقط كان غير قابل للتحليل.

البرهان: بما أن R تعتبر حلقة تامة فكل أولى p هو غير قابل للتحليل.  لإثبات العكس افرض أن p غير قابل للتحليل, إذا p ليس صفرا وليس عنصر وحدة.  إذا (p) مثالية فعلية.  افرض أنa,b \in R بحيث p|ab.  بما أن R مثالية رئيسية يوجد c \in R بحيث (p,a) = (c).  إذا p \in (c) ومن ثم p = cr.  بما أن p غير قابل للتحليل فإما c عنصر وحدة أو r عنصر وحدة.  إذا كان c عنصر وحدة فإن (c) = R ومن ثم يوجد s,t في R بحيث as + pt = 1 ومنه abs + pbt = b وبالتالي p|b لأن p|ab.  أما إذا كان r عنصر وحدة فإن p,c متشاركان وبالتالي (p) = (c).  ولكن (p,a) = (c) إذا a \in (p) ومن ثم p|a.  وبهذا يثبت أن p عنصر أولي.

نتيجة[م]7: إذا كانت R منطقة مثالية رئيسية وليست حقل[م] و a \in R غير صفري وليس عنصر وحدة فإنه يوجد عنصر أولي p \in R بحيث p|a.

البرهان: أولا (a) مثالية فعلية لأن a ليس عنصر وحدة.  بما أن R إبدالية ذات محايد, يوجد مثالية أعظمية (p) في R بحيث (a) \subset (p) راجع المثالية الأعظمية.  إذا p|a كما أن p غير قابل للتحليل وفق مبرهنة1 وحيث R منطقة مثالية رئيسية فإن p أولي حسب مبرهنة6.   

مراجع

أ.د فالح بن عمران الدوسري, مقدمة في نظرية[م] الحلقات
ب.  هارتلي, ت.  هاوكس, الحلقات, الحلقيات والجبر الخطي, ترجمة د.  يوسف بن عبد الله الخميس, د.  أحمد حميد شراري, جامعة الملك سعود , النشر العلمي والمطابع

 


This entry was posted on 11:43 ص . You can leave a response and follow any responses to this entry through the الاشتراك في: تعليقات الرسالة (Atom) .

0 التعليقات

إرسال تعليق

رسالة أحدث رسالة أقدم