الصف المطرد  

Posted by: w6 in

الصف المطرد

Monotone Class


يتعذر في الحالة العامة إعطاء طريقة بنائية لعناصر \sigma -الحلقة[م] (أو \sigma - الجبرة على وجه الخصوص) المولدة بواسطة تجمع معين[م] D. مفهوم الصف المطرد هو أحد أنماط التجمعات التي يمكن أن تدرس بدلا \sigma -الحلقة والتي يمكن من خلالها استنتاج نظريات تتعلق ببنية \sigma -الحلقة.
تعريف1: نقول عن صف class غير خال \mathfrak{S} لمجموعات أنه مطرد monotone إذا كان لكل متتابعة مطردة لمجموعات (E_n ) في \mathfrak{S} نهايتها \lim E_n في \mathfrak{S}.
بما أن نهاية المتتابعة التزايدية (التناقصية) هو اتحاد (تقاطع[م]) عناصرها فإن التجمع الغير خالي \mathfrak{S} صف مطرد إذا حقق الشرطين:
1) إذا كانتE_1 \subset E_2 \subset E_3 \ldots متتابعة تزايدية في \mathfrak{S} فإن \bigcup\limits_{n = 1}^\infty {E_n } تنتمي إلى \mathfrak{S}.
2) إذا كانتE_1 \supset E_2 \supset E_3 \ldots متتابعة تناقصية في \mathfrak{S} فإن \bigcap\limits_{n = 1}^\infty {E_n } تنتمي إلى \mathfrak{S}.
أحينا يعبر عن الشرط الأول بالقول أن \mathfrak{S} مغلقة بالنسبة للمتتابعات التزايدية وبالنسبة للشرط الثاني بالقول أن \mathfrak{S} مغلقة بالنسبة للمتتابعات التناقصية.


حقائق مباشرة

1) مجموعة القوة P(X) لمجموعة X صف مطرد.
2) كل \sigma -حلقة (ولذلك كل \sigma -جبرة) S صف مطرد. لأنه لأي (E_n ) متتابعة في \sigma -حلقة S فإن \cap E_n ,\; \cup E_n في S.
3)هناك دائما أصغر صف مطرد يحوي تجمع معطى D رمزه M(D)ويسمى الصف المطرد المولد بواسطة D. إثبات وجودة مماثل لإثبات الخاصية المماثلة في حالة الجبرة على مجموعة حيث يعتمد أساسا على أن تقاطع أي عدد من الصفوف المطردة يعطي صف مطرد.

حقيقة2: كل حلقة مجموعات ومطردة R هي \sigma -حلقة, كحالة خاصة كل جبرة على X ومطردة R هي \sigma -جبرة.
البرهان: بما أن R حلقة يكفي أن نثبت أنها مغلقة تحت عملية الاتحاد القابل للعد. لتكن (E_n ) متتابعة في R. خذ المتتابعة المطردة تزايديا (F_n ) المعرفة بالعلاقة
F_n = \bigcup\limits_{k = 1}^n {E_k }
بما أن \lim F_n = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty {E_n } وبما أن R مطردة فإن \lim F_n \in R.

نأتي الآن إلى النظرية[م] الهامة نظرية الصف المطرد Monotone Class Theorem وهي ذات تطبيق[م] واستخدام في نظرية القياس وفي غيرها أحيانا تقدم بصورة مختلفة حسب الحاجة.
نظرية3 (نظرية الصف المطرد): إذا كانت G جبرة مجموعات من X فإن الصف المطرد المولد بواسطة G يطابق \sigma -الجبرا المولدة بواسطة G, أي أن M(G) = S(G).
البرهان: بما أن سيجما الجبرا S(G) صف مطرد يحوي G فإن M(G) \subset S(G). لاثبات الاتجاه الآخر يكفي تبيان أن M(G) \sigma -الجبرا.
من أجل لأي مجموعة H \subset X عرف
M_E = \{ F:E \cup F,\;E\backslash F,\;{\text{and }}F\backslash E \in M\}
حيث M نقصد بها M(G). إذا كانت (E_n ) مطردة في M_E فإن
\begin{gathered}\lim E_n \backslash E = \lim (E_n \backslash E) \in M \hfill \\E\backslash \lim E_n = \lim (E\backslash E_n ) \in M \hfill \\\lim E_n \cup E = \lim (E_n \cup E) \in M \hfill \\ \end{gathered}
ولذلك فإن كل M_E غير خال هو صف مطرد. الآن ليكن E,F \in G إذا من تعريف الجبرة نستسنتج أن E \in M_F وبالتالي G \subset M_F . وحيث أن M أصغر صف مطرد يحوي G فإن
M \subset M_F
إذا إذا كانE \in M وF \in G فإن E \in M_F وبالتالي F \in M_E وهذا ناتج من التناظر في تعريف M_E . بما أن هذا صحيح لكل F \in G فإنه وكما سبق
M \subset M_E
وبالتالي إذا كان A,B \in M فإن A \in M_B أي أنA \cup B,\;A\backslash B,\;B\backslash A \in M . إذا M جبرا على X لكونها حلقة مجموعات تحوي X. من الحقيقة أعلاه ينتج أن M \sigma -الجبرا.

مراجع:


This entry was posted on 11:56 ص and is filed under . You can leave a response and follow any responses to this entry through the الاشتراك في: تعليقات الرسالة (Atom) .

0 التعليقات

إرسال تعليق

رسالة أحدث رسالة أقدم