مواقع للرياضيات  

Posted by: w6

 هناك مواقع رائعه لتعليم الرياضيات 
وشرح الدروس لجميع المراحل الدراسيه

مثل 
http://aghandoura.com/yadweyat.htm




مواقع آخرى


شبكة الرياضيات التعليمية


التعليم الألكتروني لتدريس الرياضيات


جزيرة الرياضيات

0 التعليقات

The Sets  

Posted by: w6 in


The Sets

لا يخلو فرع من فروع الرياضيات من استخدام مفهوم المجموعات, فهي الأداة الأولى في التعبير عن محتويات وبنى هذا الفرع.

من وجه النظر البديهية المجموعة عبارة عن أي تجمع من الأشياء المعرفة جيدا نستخدم للرمز إلى المجموعة أحرف كبيرة مثل X,Y, M, A. الأشياء المكونة لمجموعة ما تسمى عناصر المجموعة وعادة نستخدم لها رموز صغيرة مثل a,b,c,x,u,r وغيرها.

إذا كان a عنصر من ضمن عناصر مجموعة X قلنا أن a ينتمى إلى المجموعة X أو قلنا اختصارا a ينتمي إلى X أو قلنا a عنصر من X وكل هذه العبارات نعبر عنها رمزيا بالشكل

a \in X

أما إذا كان a ليس من عناصر X قلنا أن a لا ينتمي إلى X ونكتبa \notin X.

للتعبير عن المجموعة وعناصرها لنا في ذلك طريقتين, الأولى عبارة عن سرد لعناصر المجموعة بين قوسين {} فمثلا المجموعة التي عناصرها 1,3,88 نكتبها على الشكل

{1, 2, 88}

واضعين فواصل بين كل عنصر وآخر. إذا أسمينا هذه المجموعة Y مثلا فيمكن أن نكتب

Y={1, 2, 88}

لاحظ 2 \in Y بينما 3 \notin Y.

الطريقة الثانية هي كتابة مميزة أو مميزات العناصر بين القوسين {} عوضا عن كتابة العناصر نفسها, مثلا إذا كانت A مجموعة الأعداد 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000 فيمكن أن نكتب

A={حيث n عدد طبيعي اقل من 6 : 10^n }
أو
A={حيث x من قوى العشرة التي اقل من مليون: x}

وكلا الكتابتين هما بطريقة مميزة عناصر المجموعة مع اختلاف الميزة المستخدمة, إذا المجموعة بشكل عام يمكن أن تكتب بميزة عناصرها بأشكال مختلفة طالما كانت الميزة كافيه لتحديد العناصر بشكل دقيق.

المجموعة الخالية
مجموعة الأعداد الصحيحة التي بين العددين 0,1 مجموعة خالية, أيضا مجموعة أسماء الأسماك التي تتحدث اللغة العربية مجموعة خالية بالتأكيد. يرمز للمجموعة الخالية بالحرف اليوناني \emptyset "فاي" أو بقوسين {}. في موضوع المجموعة الجزئية سنثبت أن كل مجموعتين خاليتين هما مجموعة واحدة, أي ان المجموعة الخالية مجموعة وحيدة.

تساوي المجموعات
رمز التساوي = يستخدم في نظرية[م] المجموعات بمفهومه المنطقي المتعارف عليه. فنكتب A=B عندما يكون A,B يرمزان لنفس المجموعة, أو قل عندما تكون للمجموعتين A,B نفس العناصر. كما نكتب A \ne B إذا كانت المجموعة A لا تساوي المجموعة B.

مثال 1:
\{ - 1, + 1\} = \{ x:x^2 = 1\}

{ x حرف من كلمة سلام : x} \ne {س, ل, م}

تنقسم المجموعات إلى مجموعات منتهية finite sets ومجموعات غير منتهية infinite sets . المجموعة المنتهية هي التي تكون خالية أو فيها عدد n من العناصر. فيما عدا ذلك تسمى المجموعة غير منتهية.

مثال 2:
مجموعة الحروف الأبجدية العربية منتهية. المجموعة N المكونة من جميع الأعداد الطبيعية غير منتهية. عندما نكتب هذه المجموعة بسرد أو ذكر عناصرها نقوم بكتابة بعض عناصرها ثم نضع نقاط
N={0,1,2,3,...}

مجموعة مضاعفات العدد 5 مجموعة غير منتهية, نستطيع كتابتها باستخدام ميزة عناصرها كالتالي

M_5 = \{ 5m:\;m{\rm{ is integer}}\}

العدد m عدد صحيح.

0 التعليقات

الصف المطرد  

Posted by: w6 in

الصف المطرد

Monotone Class


يتعذر في الحالة العامة إعطاء طريقة بنائية لعناصر \sigma -الحلقة[م] (أو \sigma - الجبرة على وجه الخصوص) المولدة بواسطة تجمع معين[م] D. مفهوم الصف المطرد هو أحد أنماط التجمعات التي يمكن أن تدرس بدلا \sigma -الحلقة والتي يمكن من خلالها استنتاج نظريات تتعلق ببنية \sigma -الحلقة.
تعريف1: نقول عن صف class غير خال \mathfrak{S} لمجموعات أنه مطرد monotone إذا كان لكل متتابعة مطردة لمجموعات (E_n ) في \mathfrak{S} نهايتها \lim E_n في \mathfrak{S}.
بما أن نهاية المتتابعة التزايدية (التناقصية) هو اتحاد (تقاطع[م]) عناصرها فإن التجمع الغير خالي \mathfrak{S} صف مطرد إذا حقق الشرطين:
1) إذا كانتE_1 \subset E_2 \subset E_3 \ldots متتابعة تزايدية في \mathfrak{S} فإن \bigcup\limits_{n = 1}^\infty {E_n } تنتمي إلى \mathfrak{S}.
2) إذا كانتE_1 \supset E_2 \supset E_3 \ldots متتابعة تناقصية في \mathfrak{S} فإن \bigcap\limits_{n = 1}^\infty {E_n } تنتمي إلى \mathfrak{S}.
أحينا يعبر عن الشرط الأول بالقول أن \mathfrak{S} مغلقة بالنسبة للمتتابعات التزايدية وبالنسبة للشرط الثاني بالقول أن \mathfrak{S} مغلقة بالنسبة للمتتابعات التناقصية.


حقائق مباشرة

1) مجموعة القوة P(X) لمجموعة X صف مطرد.
2) كل \sigma -حلقة (ولذلك كل \sigma -جبرة) S صف مطرد. لأنه لأي (E_n ) متتابعة في \sigma -حلقة S فإن \cap E_n ,\; \cup E_n في S.
3)هناك دائما أصغر صف مطرد يحوي تجمع معطى D رمزه M(D)ويسمى الصف المطرد المولد بواسطة D. إثبات وجودة مماثل لإثبات الخاصية المماثلة في حالة الجبرة على مجموعة حيث يعتمد أساسا على أن تقاطع أي عدد من الصفوف المطردة يعطي صف مطرد.

حقيقة2: كل حلقة مجموعات ومطردة R هي \sigma -حلقة, كحالة خاصة كل جبرة على X ومطردة R هي \sigma -جبرة.
البرهان: بما أن R حلقة يكفي أن نثبت أنها مغلقة تحت عملية الاتحاد القابل للعد. لتكن (E_n ) متتابعة في R. خذ المتتابعة المطردة تزايديا (F_n ) المعرفة بالعلاقة
F_n = \bigcup\limits_{k = 1}^n {E_k }
بما أن \lim F_n = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty {E_n } وبما أن R مطردة فإن \lim F_n \in R.

نأتي الآن إلى النظرية[م] الهامة نظرية الصف المطرد Monotone Class Theorem وهي ذات تطبيق[م] واستخدام في نظرية القياس وفي غيرها أحيانا تقدم بصورة مختلفة حسب الحاجة.
نظرية3 (نظرية الصف المطرد): إذا كانت G جبرة مجموعات من X فإن الصف المطرد المولد بواسطة G يطابق \sigma -الجبرا المولدة بواسطة G, أي أن M(G) = S(G).
البرهان: بما أن سيجما الجبرا S(G) صف مطرد يحوي G فإن M(G) \subset S(G). لاثبات الاتجاه الآخر يكفي تبيان أن M(G) \sigma -الجبرا.
من أجل لأي مجموعة H \subset X عرف
M_E = \{ F:E \cup F,\;E\backslash F,\;{\text{and }}F\backslash E \in M\}
حيث M نقصد بها M(G). إذا كانت (E_n ) مطردة في M_E فإن
\begin{gathered}\lim E_n \backslash E = \lim (E_n \backslash E) \in M \hfill \\E\backslash \lim E_n = \lim (E\backslash E_n ) \in M \hfill \\\lim E_n \cup E = \lim (E_n \cup E) \in M \hfill \\ \end{gathered}
ولذلك فإن كل M_E غير خال هو صف مطرد. الآن ليكن E,F \in G إذا من تعريف الجبرة نستسنتج أن E \in M_F وبالتالي G \subset M_F . وحيث أن M أصغر صف مطرد يحوي G فإن
M \subset M_F
إذا إذا كانE \in M وF \in G فإن E \in M_F وبالتالي F \in M_E وهذا ناتج من التناظر في تعريف M_E . بما أن هذا صحيح لكل F \in G فإنه وكما سبق
M \subset M_E
وبالتالي إذا كان A,B \in M فإن A \in M_B أي أنA \cup B,\;A\backslash B,\;B\backslash A \in M . إذا M جبرا على X لكونها حلقة مجموعات تحوي X. من الحقيقة أعلاه ينتج أن M \sigma -الجبرا.

مراجع:


0 التعليقات
رسائل أحدث رسائل أقدم