تقطير المصفوفات  

Posted by: w6

Matrix Diagonalization


تعريف 1: المصفوفة A من الحجم n×n تدعى قطورة (أو قابلة للتقطير) إذا كنت مشابهة لمصفوفة قطرية، أي إذا وجدت مصفوفة P عكوسة (قابلة للإنعكاس) بحيث أن المصفوفة P^{ - 1} AP تكون مصفوفة قطرية. عملية إيجاد P تسمى تقطيراً للمصفوفة A.
قد يدور تساؤل فيما إذا كانت كل مصفوفة مربعة قطورة ، والجواب هو: لا، توجد مصفوفات[م] لا تقبل التقطير .

مبرهنة[م] 1: المصفوفة A من الحجم n×n تكون قطورة إذا وفقط إذا كان لديها n متجهاً ذاتياً مستقلة خطياً[م].
البرهان:
\Leftarrow
لنفرض أن A قطورة، إذاً توجد مصفوفة عكوسة بحيث D = P^{ - 1} AP قطرية. لتكن \lambda _1 ,\lambda _2 ,...,\lambda _n عناصر القطر للرئيسي لـ D  ، ولتكن p _1 ,p _2 ,...,p _n متجهات[م] الأعمدة لـ p ، فإن:
PD = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 } & {p_2 } & {...} & {p_n } \\\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {\lambda _1 } & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & {\lambda _2 } & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & {\lambda _n } \\\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 \lambda _1 } & {p_2 \lambda _2 } & {...} & {p_n \lambda _n } \\\end{array}} \right]
وبما أن D = P^{ - 1} AP فإن AP=PD مما يؤدي إلى:
\left[ {\begin{array}{*{20}c} {Ap_1 } & {Ap_2 } & {...} & {Ap_n } \\\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\lambda _1 p_1 } & {\lambda _2 p_2 } & {...} & {\lambda _n p_n } \\\end{array}} \right]
بعبارة أخرى فإن Ap_i=\lambda_i p_i لكل متجه عمود p_i. وهذا بكل بساطة يعني أن المتجهات p_i عبارة متجهات ذاتية لـ A. ولكن بما أن P عكوسة لذا فإن أعمدتها مستقلة ذاتياً، أي مجموعة المتجهات الذاتية مستقلة خطياً.
\Rightarrow
لنفرض أنه يوجد n متجهاً ذاتياً مستقلة خطياً لـ A . لنن هذه المتجهات الذاتية هي  p _1 ,p _2 ,...,p _n وقيمها الذاتية \lambda _1 ,\lambda _2 ,...,\lambda _n . لنعرف المصفوفة P على الشكل:P = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 } & {p_2 } & {...} & {p_n } \\\end{array}} \right] . ولكن بما أن كل p_i هو متجه ذاتي لـ A  ، لذا فإن Ap_i=\lambda_i p_i و:
AP = A\left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 } & {p_2 } & {...} & {p_n } \\\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\lambda _1 p_1 } & {\lambda _2 p_2 } & {...} & {\lambda _n p_n } \\\end{array}} \right]
الطرف الأيمن من المعادلة يمكن أن يكتب الشكل التالي:
AP = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 } & {p_2 } & {...} & {p_n } \\\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {\lambda _1 } & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & {\lambda _2 } & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & {\lambda _n } \\\end{array}} \right] = PD
وبما أن p _1 ,p _2 ,...,p _n مستقلة خطياً ، لذا فإن P عكوسة وبذلك نحصل على: D = P^{ - 1} AP ، أي أن A قطورة.  _\blacksquare

إن المبرهنة 1 توفر لنا طريقة واضحة لكيفية تقطير المصفوفة A ، وذلك من خلال الخطوات التالية:
  1. (1) أوجد n متجهاً ذاتياً مستقلة خطياً p _1 ,p _2 ,...,p _n مع قيمها الذاتية \lambda _1 ,\lambda _2 ,...,\lambda _n . إذا كانت هذه المجموعة من المتجهات الذاتية غير موجودة فإنه لا يمكن تقطير A.
  2. (2) كون المصفوفة P بحيث P = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 } & {p_2 } & {...} & {p_n } \\\end{array}} \right] .
  3. (3) المصفوفة القطرية D = P^{ - 1} AP ستكون عناصر قطرها الرئيسي هي \lambda _1 ,\lambda _2 ,...,\lambda _n .


(تحت الإنشاء)







المراجع:
[1] T. Apostol, Linear Algebra, Wiley-Interscience, 1997. (اضغط هنا)
[2] K. Hoffman and R. Kunze, Linear Algebra, 2nd ed., Prentice Hall, 1971. (اضغط هنا)

This entry was posted on 11:45 ص . You can leave a response and follow any responses to this entry through the الاشتراك في: تعليقات الرسالة (Atom) .

0 التعليقات

إرسال تعليق

رسالة أحدث رسالة أقدم