الجبرة على مجموعة  

Posted by: w6 in



Algebra over a Set


تعريف1: الجبرا على مجموعة X algebra over a set عبارة عن تجمع غير خال\mathfrak{A} لمجموعات جزئية من X مغلق تحت عملية التكميل compelement وتحت عملية الاتحاد.
بمعنى آخر الجبرة على X عبارة عن تجمع \mathfrak{A} لمجموعات من X بحيث إذا كانت A,B \in \mathfrak{A} فإن
1) A^c \in \mathfrak{A}.
2) A \cup B \in \mathfrak{A}.

نتائج مباشرة

1) X,\emptyset \in \mathfrak{A}
بما أن \mathfrak{A} غير خال يوجد E \in \mathfrak{A} وبالتالي E^c \in \mathfrak{A} وبما أن E^c \cup E = X فإننا نستنتج أن X \in \mathfrak{A} وعليه \emptyset \in \mathfrak{A} باعتبارها مكملة X.
2)كل جبرة على مجموعة X عبارة عن حلقة مجموعات من X وذلك لأن
A\backslash B = A \cap B^c = (A^c \cup B)^c
والعكس صحيح, كل حلقة مجموعات  \mathfrak{A} من X وتحوي X هي جبرة على X. وذلك لأنه إذا كانت A \in \mathfrak{A} فإن X\backslash A \in \mathfrak{A}.
3) الجبره \mathfrak{A} مغلقة تحت عملية التقاطع[م] من قانون ديمورغان A \cap B = (A^c \cup B^c )^c . إذا A \cap B \in \mathfrak{A} عندما A,B \in \mathfrak{A}.
4) إذا كانتA_1 ,A_2 , \ldots ,A_n \in \mathfrak{A} فإن
\begin{gathered} A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n \in \mathfrak{A} \hfill \\ A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n \in \mathfrak{A} \hfill \\ \end{gathered}
هذا ينتج باستخدام الاستقراء الرياضي[م] (التراجع) . إذا \mathfrak{A} مغلقة تحت عملية التقاطع المنتهي والاتحاد المنتهي.
5) تقاطع أي عدد من الجبريات يعطي جبرة.لبيان هذا افرض أن \mathfrak{S} تجمع لجبريات على X وأن
\mathfrak{A} = \cap \{ \mathfrak{B}:\mathfrak{B} \in \mathfrak{S}\}
إذا كان A,B \in \mathfrak{A} فإن A,B \in \mathfrak{B} وبالتالي A \cup B \in \mathfrak{B} وذلك لكل \mathfrak{B} \in \mathfrak{S} إذا A \cup B \in \mathfrak{A}. بنفس النقاش نثبت أن A^c \in \mathfrak{A} عندما A \in \mathfrak{A}.

أمثلة على الجبرات

1) مجموعة القوة P(X) لمجموعة X. كحالة خاصة التجمع \{ \emptyset \} المكون من المجموعة الخالية فقط.2) لتكن X غير عدودة (غير قابلة للعد) . التجمع F لكل المجموعات الجزئية من X العدودة (القابلة للعد) أو مكملتها عدودة.

هناك دائما أصغر جبرا تحوي تجمع معطى D كما تبين الحقيقة التالية. مثل هذه الجبرة تسمى الجبرة المولدة بواسطة D  ورمزهاA(D).
حقيقة2: ليكن D تجمع لمجموعات جزئية من X. يوجد أصغر جبرا A(D) بحيث تحوي D بمعنى أنه إذا كانت \Gamma أي جبرا تحوي D فإن A(D) \subset \Gamma .
البرهان: ليكن \mathfrak{C} عائلة جميع الجبريات التي تحتوي D. بالطبع \mathfrak{C} غير خالية لأن P(X) \in \mathfrak{C}. اجعل
A(D) = \cap \{ \mathfrak{B}:\mathfrak{B} \in \mathfrak{C}\}
إذا A(D) جبرة تحوي D لأنها تقاطع لجبريات تحوي D. لإثبات أنها أصغر جبرة خذ \mathfrak{B} أي جبرا تحوي D. من تعريف A(D) نستنتج أن A(D) \subset \mathfrak{B} ويثبت المطلوب.
الحقيقة التالية سبق ذكرها وبرهنتها في موضوع حلقات المجموعات, بما أن كل جبرة على X تشكل حلقة مجموعات وبما أن الجبرة و سيجما-الجبرة أدوات مهمة في نظرية[م] القياس سنعيد تقرير الحقيقة هنا نسبة إلى الجبرة ونحيل الراغب في الإطلاع على برهانها إلى موضعها الأصلي.
حقيقة3: لتكن(A_n ) متتابعة لمجموعات في جبره \mathfrak{A} عندئذ توجد متتابعة (B_n ) في\mathfrak{A} من مجموعات منفصلة بحيث B_n \subset A_n و \cup A_n = \cup B_n .

حقيقة4: إذا كانتA(D) الجبرة المولدة بواسطة التجمع D فإن أي مجموعة A من A(D) نستطيع تغطيتها باتحاد منتهي لمجموعات من D. هذا يعني وجود A_1 ,A_2 , \ldots ,A_n \inD بحيث
A \subset \bigcup\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} {A_i }
البرهان: التجمع U لكل المجموعات التي يمكن تغطيتها باتحاد منتهي لمجموعات من D يمثل جبرة تحتوي D تحقق من هذا. بما أن A(D) أصغر جبرة تحوي D فإنA(D) \subset U ويثبت المطلوب.
نظرية5: إذا كان D تجمع عدود (قابل للعد) لمجموعات فإن حلقة المجموعات المولدة R(D) عدودة.
للبرهان انظر Measure Theory By Paul Halmos.

المراجع

This entry was posted on 11:53 ص and is filed under . You can leave a response and follow any responses to this entry through the الاشتراك في: تعليقات الرسالة (Atom) .

0 التعليقات

إرسال تعليق

رسالة أحدث رسالة أقدم